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By Dr. phil. Günter Simm, Dr. rer. nat. Heinz H. Gonska (auth.)

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Man sagt: Die Verknlipfung 0 in Mist vertragiich gegenliber der durch h erzeugten Partition 3 (M) von M. Be wei s. Es sei heine homomorphe Abbildung von (M, 0) in (N, 0). h-l(a) und h- l (b) seien beliebige Elemente der zu h gehbrigen Partition 3(M) von M. FUr beliebige Elemente x .. X2 E h- l (a) und beliebige Elemente Y.. )= h(X2) und h(Yl) = h(Y2). Also gilt: h(Xl)oh(Yl)= = h(X2) 0 h(Y2) und damit h(XI 0 Yl) = h(X2 0 Y2). Gleichheit der Bilder bedeutet aber, da~ die zugehbrigen Urbilder in derselben Klasse der zu h gehbrigen Partition von M liegen.

2 Homomorphismen und Partitionen 39 B Der Begriff ~,homomorphe Abbildung" liilit sich nun auch in Beziehung setzen zu gewissen Verfeinerungen von Gruppoidstrukturen. Betrachten wir hierfiir ein Gruppoid (M, *) und das Gruppoid (MM, 0), wobei (vgl. 17) unter MM die Menge aller Abbildungen von Min M verstanden werden soil. Ais Verkntipfung ,,0" soli die Verkettung von Abbildungen betrachtet werden. Ordnen wir nun jedem m EM diejenige Abbildung mf aus MM zu,flir die gilt: mf(x) = m * x fur aile x EM.

B ewe is. Seien x, y beliebige Elemente aus H*. Dann gibt es Elemente a, b in G mit <{I(a) = x, <{I(b) = y. B e mer k u n g. t sich einsehen: 1st h ein Homomorphismus von (G, 0), in (H, 0) und ist (U, 0) Untergruppoid von (H, 0) und h- 1 (U) = {x: x EGA hex) E U} of (/), so ist h-1(U) mit der in G definierten Verkniipfung 0 ein Gruppoid und damit ein Untergruppoid von G. 4 Satz 1st <{I ein Homomorphismus von (G, 0) in (H, 0) und ist H* das homomorphe Bild von G, d. h. H* = <{I(G), so gilt: (i) (G,o) ist assoziativ => (H*, 0) ist assoziativ.

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